下面是小编为大家整理的高等数学极限求法总结，本文共13篇，欢迎阅读与收藏。本文原稿由网友“fnhfjhh”提供。
篇1：高等数学极限求法总结
高等数学极限求法总结
函数极限的求法
函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知的极极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。 限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是： 对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x
满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限。
1.利用极限的四则运算法则 ：
极限四则运算法则的条件是充分而非必要的 ，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件 ，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者 ，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限 ，而是需将函数进行恒等变形 ，使其符合条件后 ，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。 例 1
求 lim( x 2 3x + 5).
x→ 2
解： lim( x 2 3x + 5) = lim x 2 lim 3x + lim 5
= (lim x) 2 3 lim x + lim 5
= 2 2 3 2 + 5 = 3.
x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2
2.利用洛必达法则
洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。
利用洛必达求极限应注意以下几点：
设函数f(x)和F(x)满足下列条件：
（1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0;
（2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0;
（3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大
则 x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))
例1：
1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2
xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2)
原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x
对分子分母同时求导（洛必达法则）
(tgx)' = 1 / (cosx)^2
(x)' = 1
原式 = lim 1/(cosx)^2
当 x -->0 时,cosx --->1
原式 = 1
3.利用两个重要极限：
应用第一重要极限时 ，必须同时满足两个条件：
① 分子、分母为无穷小 ，即极限为 0 ；
② 分子上取正弦 的角必须与分母一样。
应用第二重要极限时 ，必须同时满足四个条件：
①带有“1”；
② 中间是“+ ”号 ；
③“+ ”号后面跟无穷小量 ；
④指数和“+ ”号后面的数要互为倒数。
例1：
求lim(arcsinx/x),x趋于0
解A.令x=sint,则当t 趋于0时,x趋于0,且arcsinx=t
所以 B.lim(arcsinx/x),x趋于0.=lim(t/sint),t趋于0=1
4.利用等价无穷小代换定理
利用此定理求函数的极限时 ，一般只在以乘除形式出现时使用。若以和或差形式出现时，不要轻易代换 ，因为经此代换后 ，往往会改变无穷小之比的阶数。要用好等价无穷小代换定理 ，必须熟记一些常 用的等价无穷小 。
例1
lim√(1-cosx)/tanx
=lim-√2sin(x/2)/tanx
=lim-√2/2x/x
=-√2/2
lim√(1-cosx)/tanx
=lim√2sin(x/2)/tanx
=lim√2/2x/x
=√2/2
因为lim√(1-cosx)/tanx≠lim=√(1-cosx)/tanx
所以极限不存在
5.柯西收敛准则
数列{Xn}收敛的充分必要条件是对于任意给定的正数ε存在着这样的正整数N使得当m>N,n>N时就有|Xn-Xm|<ε这个准则的几何意义表示，数列{Xn}收敛的充分必要条件是：该数列中足够靠后的.任意两项都无限接近。
例1
证明：xn=1-1/2+1/3-1/4+......+ [(-1)^(n+1)]/n 有极限
证：
对于任意的m,n属于正整数，m>n
|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
当m-n为奇数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-1)m
=(1/n-1/m)→0
由柯西收敛原理得{xn}收敛
当m-n为偶数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-2)(m-1)-1/m
=(1/n-1/(m-1)-1/m）→0
由柯西收敛原理得{xn}收敛
综上{xn}收敛，即{xn}存在极限
6.利用函数连续性：
（就是直接将趋向值带出函数自变量中，此时要要求分母不能为0）
描述函数的一种连绵不断变化的状态，即自变量的微小变动只会引起函数值的微小变动的情况。确切说来，函数在某点连续是指：当自变量趋于该点时，函数值的极限与函数在该点所取的值一致。
例1
设 f（x）=xsin 1/x + a,x<0，b+1,x=0，x^2-1,x<0，试求：
当a，b为何值时，f（x）在x=0处的极限存在？
当a，b为何值时，f（x）在x=0处连续？
注：f（x）=xsin 1/x +a, x< 0
b+1, x=0
X^2-1, x>0
解：f(0)＝b+1
左极限：lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0-) (xsin(1/x)＋a)＝0+a＝a
左极限：lim(x→0+) f(x)＝lim(x→0+) (x^2-1)＝0-1＝-1
f(x)在x＝0处连续，则lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0+) f(x)＝f(0)，
所以a＝-1＝b+1，
所以a＝-1，b＝-2
7.利用等价无穷小量代换求极限
tanxsinx例 8 求极限lim． x0sinx3
解 由于tanxsinxsinx1cosx，而 cosx
x2
sinx~xx0，1cosx~x0，sinx3~x3x02
故有
x2
xtanxsinx11． limlimx0x0cosxsinx3x32
注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代，如在例题中，若因有tanx~xx0，sinx~xx0，而推出
limtanxsinxxxlim0， x0x0sinx3sinx3
则得到的式错误的结果．
附 常见等价无穷小量
x2
sinx~xx0，tanx~xx0，1cosx~x0， 2
arcsinx~xx0，arctanx~xx0，ex1~xx0，
ln1x~xx0，1x1~xx0．
8 利用洛比达法则求极限
0洛比达法则一般被用来求型不定式极限及型不定式极限．用此种方法求极限要求在0
点x0的空心领域U
例1
求极限lim0x0内两者都可导，且作分母的函数的导数不为零． 1cosx． xtan2x
xx解 由于lim1cosxlimtan2x0，且有
1cosx'sinx，tan2x'2tanxsec2x0，
由洛比达法则可得
lim1cosx xtan2x
xlisinx 22tanxsexc
cos3xlimx21． 2
9.利用定义求极限
1．f'xlimxx0fxfx0， xx0
fx0hfx0． h2．f'x0limh0
其中h是无穷小，可以是xxxx0，x的函数或其他表达式．
例1
求极限x0p0,q0．
0 分析 此题是x0时型未定式，在没有学习导数概念之前，常用的方法是消去分母0
中的零因子，针对本题的特征，对分母分子同时进行有理化便可求解．但在学习了导数的定义式之后，我们也可直接运用导数的定义式来求解．
解 令f
xg
x 则
x0fxf0
lim x0gxg0x0
f'0g'0p． q
10. 利用归结原则求极限
归结原则设f在U0x0;'内有定义，limfx存在的充要条件是：对任何含于xx0
U0x0;'且以x0为极限的数列xn，极限limfxn都存在且相等． n
例1 11求极限lim12． nnn
x1分析 利用复合函数求极限，令ux12x
x1解 令ux12x
nnnx2x1，vxx1求解． xx2x1，vxx1则有 xlimuxe；limvx1，
由幂指函数求极限公式得
vx11lim12limuxe， xxxxx
篇2：常用函数极限的求法
常用函数极限的求法
极限被称为高等数学基本运算,其方法多变,技巧性强,为此对一元函数极限的'常见求解方法进行了归纳总结,以便我们了解函数的各种极限以及对各类函数极限进行计算,帮助初学者深刻地理解极限的概念并熟练掌握.
作 者：马艳慧 作者单位：长春医学高等专科学校,长春,130031 刊 名：中国科教创新导刊 英文刊名：CHINA EDUCATION INNOVATION HERALD 年，卷(期)： “”(35) 分类号：G64 关键词：函数 极限 求法篇3：和式极限的几种求法
和式极限的几种求法
和式极限是分析学的基础和重要工具--极限的一类,也是高等教学教学中的一个难点.如何正确地分析和探求和式极限,提高论证问题解决问题的`能力是教学过程中的关键所在.本文系统阐述了和式极限的几种经典的论证和探求的方法,以典型例题为主体介绍这些求法的具体应用.
作 者：臧雨亭 李艳军 作者单位：安阳工学院 刊 名：科技信息 英文刊名：SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION 年，卷(期)：2009 “”(12) 分类号：G64 关键词：和式极限 夹逼准则 定积分 无穷级数篇4：考研高等数学积分求法是重点
考研高等数学积分求法是重点
转眼间，暑假已过将近一半，对于广大备战考研的考生来说，无疑得暑假者得天下。在考研的各门科目中，数学考试综合性强、知识覆盖面广、难度大，提醒广大考生一定要及早复习。高等数学是考研数学内容最多的一部分，在数一和数三中，高数部分占总分的56%，在数二中，高数部分占78%，所以高等数学对总体成绩的高低也就显得尤为重要了。下面就如何复习考研数学中的高等数学部分给广大考生以下建议：
第一：要明确考试重点，充分把握重点。比如高数第一章的不定式的极限，我们要充分把握求不定式极限的各种方法，比如利用极限的四则运算、洛必达法则等等，另外两个重要极限也是重点内容；对函数的连续性的探讨也是考试的重点，这要求我们充分理解函数连续的定义和掌握判定连续性的方法。
第二：关于导数和微分，其实考试的重点并不是给一个函数求其导数，而是导数的定义，也就是抽象函数的可导性。还要熟练掌握各类多元函数求偏导的方法以及极值与最值的求解与应用问题。
第三：关于积分部分，定积分、分段函数的积分、带绝对值的函数的积分等各种积分的求法都是重要的题型。而且求积分的过程中，特别要留意积分的对称性，利用分段积分去掉绝对值把积分求出来。二重积分的计算，当然数学一里面还包括了三重积分，这里面每年都要考一个题目。另外曲线和曲面积分，这也是必考的重点内容。
第四：微分方程，无穷级数，无穷级数的求和等这两部分内容相对比较孤立，也是难点，需要记忆的公式、定理比较多。微分方程中需要熟练掌握变量可分离的'方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法，以及二阶常系数线性微分方程的求解，对于这些方程要能够判断方程类型，利用对应的求解方法、求解公式，能很快的求解。对于无穷级数，要会判断级数的敛散性，重点掌握幂级数的收敛半径与收敛域的求解，以及求数项级数与幂级数的和函数等。
充分把握住这些重点，根据自己的情况有针对性的复习会达到很不错的效果。相信经过有计划有目标的复习，每个考生都可以使自己的综合解题能力有一个质的提高，从而在最后的考试中考出好的成绩。最后，考研教育网考研命题研究中心祝大家备考顺利！
大学网考研频道。篇5：考研高等数学之极限复习方法
考研高等数学之极限复习方法
大家好，今天我们来说一下极限的复习方法。我们都知道高等数学在整个考研数学中占到了56%的比例。所以复习好高等数学至关重要。而极限是高等数学的基础，所以极限学习的成败也就在一定程度上决定了高等数学的成败。
我们先看一下高等数学的整体框架：
从中我们可以看出：高等数学用极限定义的连续，可导，级数;并且导数应用中用洛必达法则求极限。而不定积分是导数的逆运算，定积分的定义也用到了极限思想。所以学好了极限就相当于为整个高等数学的学习奠定了基础。在这里，向蠢鲜将给大家分享一下极限的复习方法。
1.牢记极限的知识体系
这一点对学习任何知识都适用。大家只有掌握了极限的知识体系，才能清楚极限包含的内容以及可能的重难点。极限这章包括了三个部分：首先是极限的概念以及无穷小和无穷大的介绍;然后是极限的基本性质;最后是极限的计算方法。大家可以把这个知识体系与考纲做个对照，就会发现极限的计算是重点。在清楚了重点后，复习极限时就可以做到详略得当，有的放矢。
2.理解极限知识点内容
在牢记知识体系之后，大家要做的自然是理解知识点。首先是极限的概念以及无穷小和无穷大的介绍。针对极限的概念，大家没必要像定积分定义那样记的那么准。历年考研几乎没考过用定义来求极限。所以，大家要做的是理解这个概念，并能用自己的话来表述。特别是教材或者参考书上针对概念的注解是大家需要关注的。至于无穷小和无穷大，关键也是要理解内涵，并且与极限联系。然后是极限的基本性质。大家也不需要强记性质。大家需要做的还是理解。即要多问问自己这条性质怎么来的。比如说函数极限的局部有界性和数列极限的有界性。那么大家就要想想为什么函数极限是局部有界呢?再比如函数极限的局部保号性及推论是怎么来的?我想如果大家都能给出证明的话，那这些性质也就自然记住了。最后是极限的计算。这个是重点。每年的考研必考至少一道关于极限的计算大题。但是在学习极限时，很多同学都是在这里出现了瓶颈。究其原因，我想主要是两点：一，方法理解不透彻。具体就是被极限式子的形式多，因而求极限的方法多，很多同学容易混淆，张冠李戴，没理解方法的使用条件和内涵。比如求极限的常用方法：等价无穷小替代。很多同学一看到题目有已知的等价无穷小就盲目的利用等价替换。殊不知等价无穷小替代是有条件的，即一般情况下整个式子的`乘除因子才能替代。再比如洛必达法则求极限。很多同学一看到0比0或者无穷比无穷就毫不犹豫的用这个法则。但是，在使用洛必达法则前，要满足三个条件。所以，希望大家对极限的求解方法要理解透彻，要注意这些方法的使用条件，这样才不会错。二。心态。因为求极限的方法比较多，而且题目更多。很多同学为了更好的巩固知识点，做了大量的题。这种想法是好的，但是同时会出现大量不会的题。所以一些同学就开始灰心丧气，心态失衡，继续题海战术。这样的恶性循环造成了否定自己，最终会的也不会了。针对这种情况，我建议大家要学会对求极限的题目进行归类。每一类做一些题目就够了。它的目的是巩固知识点不是为了做难题。大家只有掌握了方法和类型，以后做题就能对号入座，也就不用题海战术了。
3.练习巩固
在大家掌握了知识体系以及知识点后就需要适量的题目来巩固。在这里，我坚决反对题海战术。因为大家的时间有限并且题海战术在没理解知识点之前是没用的。现在社会做事情都讲究高效，我希望大家能够事半功倍。那么针对极限这章，我前面说了计算是重点。所以我希望大家对极限计算方法进行总结。大家可以按照以下思路来。首先，能代入，就用四则运算。然后，如果不能代入，就可以先看看能不能用等价无穷小化简。化简后，再看被极限式子类型(7种类型)。最后，根据类型以及方法的适用条件来选择合适方法。有了这个思路，大家就可以做一些题，然后自己总结归纳。
总之，希望大家经过这三个步骤能够学习好极限，为以后的高等数学的复习打好基础。祝大家考研顺利，马到成功!
篇6：高等数学导数知识点总结
高等数学导数知识点总结
1、导数的定义：在点处的导数记作.
2.导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率
①k=f/(x0)表示过曲线y=f(x)上P(x0,f(x0))切线斜率。V=s/(t)表示即时速度。a=v/(t)表示加速度。
3.常见函数的导数公式:①;②;③;
⑤;⑥;⑦;⑧。
4.导数的四则运算法则：
5.导数的应用：
(1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果,那么为减函数;
注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。
(2)求极值的步骤：
①求导数;
②求方程的根;
③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值;
(3)求可导函数值与最小值的步骤：
ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较,的为值,最小的是最小值。
导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。学好导数至关重要，一起来学习高二数学导数的定义知识点归纳吧!
导数是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。
导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续;不连续的函数一定不可导。
对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。
设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx，(x0+Δx)也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数记为f'(x0)，也记作y'│x=x0或dy/dx│x=x0
锐角三角函数公式
sinα=∠α的对边/斜边
cosα=∠α的邻边/斜边
tanα=∠α的对边/∠α的邻边
cotα=∠α的邻边/∠α的对边
“一划、二批、三试、四分”的预习方法
一划：就是圈划知识要点，基本概念。
二批：就是把预习时的体会、见解以及自己暂时不能理解的内容，批注在书的空白地方。
三试：就是尝试性地做一些简单的练习，检验自己预习的效果。
四分：就是把自己预习的这节知识要点列出来，分出哪些是通过预习已掌握了的，哪些知识是自己预习不能理解掌握了的，需要在课堂学习中进一步学习。
篇7：求极限方法总结
求极限方法总结
为什么第一章如此重要? 各个章节本质上都是极限， 是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面
首先对极限的总结如下：
极限的保号性很重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致
1 极限分为 一般极限 ， 还有个数列极限， (区别在于数列极限时发散的， 是一般极限的一种)
2解决极限的方法如下：(我能列出来的全部列出来了你还能有补充么???)
1 等价无穷小的转化， (只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在) e的X次方-1 或者 (1+x)的a次方-1等价于Ax 等等 。 全部熟记
(x趋近无穷的时候还原成无穷小)
2落笔他 法则 (大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法)
首先他的使用有严格的使用前提
必须是 X趋近而不是N趋近(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限， 当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件
(还有一点 数列极限的'n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷)
必须是 函数的导数要存在(假如告诉你g(x), 没告诉你是否可导， 直接用无疑于找死)
必须是 0比0 无穷大比无穷大
当然还要注意分母不能为0
落笔他 法则分为3中情况
1 0比0 无穷比无穷 时候 直接用
2 0乘以无穷 无穷减去无穷 ( 应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了
30的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方
对于(指数幂数)方程 方法主要是取指数还取对数的方法， 这样就能把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ， ( 这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0)
3泰勒公式 (含有e的x次方的时候 ，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注意 )E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开对题目简化有很好帮助
4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法
取大头原则 最大项除分子分母看上去复杂处理很简单
5无穷小于有界函数的处理办法
面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了
6夹逼定理(主要对付的是数列极限)
这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式 ，放缩和扩大。
7等比等差数列公式应用(对付数列极限) (q绝对值符号要小于1)
8各项的拆分相加 (来消掉中间的大多数) (对付的还是数列极限)
可以使用待定系数法来拆分化简函数
9求左右求极限的方式(对付数列极限) 例如知道Xn与Xn+1的关系， 已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化
10 2 个重要极限的应用。 这两个很重要 对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值 。 地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式
(地2个实际上是 用于 函数是1的无穷的形式 )(当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限)
11 还有个方法 ，非常方便的方法
就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的x的x次方 快于 x 快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数 (画图也能看出速率的快慢)当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了
12 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元， 但是换元会夹杂其中
13假如要算的话 四则运算法则也算一种方法 ，当然也是夹杂其中的
14还有对付数列极限的一种方法，
就是当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。 一般是从0到1的形式 。
15单调有界的性质
对付递推数列时候使用 证明单调性
16直接使用求导数的定义来求极限 ，
(一般都是x趋近于0时候，在分子上f(x加减麽个值)加减f(x)的形式， 看见了有特别注意)
(当题目中告诉你F(0)=0时候 f(0)导数=0的时候 就是暗示你一定要用导数定义)
篇8：极限的计算方法总结
极限的计算方法总结
1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。
2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。
3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。
4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母!!!看上去复杂,处理很简单!
5、无穷小于有界函数的.处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了!
6、夹逼定理(主要对付的是数列极限!)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
7、等比等差数列公式应用(对付数列极限)(q绝对值符号要小于1)。
8、各项的拆分相加(来消掉中间的大多数)(对付的还是数列极限)可以使用待定系数法来拆分化简函数。
9、求左右极限的方式(对付数列极限)例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下,xn的极限与xn+1的极限时一样的，因为极限去掉有限项目极限值不变化。
10、两个重要极限的应用。这两个很重要!对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大，无穷小都有对有对应的形式(第2个实际上是用于函数是1的无穷的形式)(当底数是1的时候要特别注意可能是用地两个重要极限)
11、还有个方法，非常方便的方法,就是当趋近于无穷大时候,不同函数趋近于无穷的速度是不一样的!x的x次方快于x!快于指数函数，快于幂数函数，快于对数函数(画图也能看出速率的快慢)!!当x趋近无穷的时候，他们的比值的极限一眼就能看出来了。
12、换元法是一种技巧,不会对单一道题目而言就只需要换元，而是换元会夹杂其中。
13、假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的。
14、还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法，走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是从0到1的形式。
15、单调有界的性质，对付递推数列时候使用证明单调性!
16、直接使用求导数的定义来求极限，(一般都是x趋近于0时候，在分子上f(x加减某个值)加减f(x)的形式,看见了要特别注意)(当题目中告诉你F(0)=0时候f(0)导数=0的时候，就是暗示你一定要用导数定义!
函数是表皮,函数的性质也体现在积分微分中。例如他的奇偶性质他的周期性。还有复合函数的性质：
1、奇偶性，奇函数关于原点对称偶函数关于轴对称偶函数左右2边的图形一样(奇函数相加为0);
2、周期性也可用在导数中在定积分中也有应用定积分中的函数是周期函数积分的周期和他的一致;
3、复合函数之间是自变量与应变量互换的关系;
4、还有个单调性。(再求0点的时候可能用到这个性质!(可以导的函数的单调性和他的导数正负相关):o再就是总结一下间断点的问题(应为一般函数都是连续的所以间断点是对于间断函数而言的)间断点分为第一类和第二类剪断点。第一类是左右极限都存在的(左右极限存在但是不等跳跃的的间断点或者左右极限存在相等但是不等于函数在这点的值可取的间断点;第二类间断点是震荡间断点或者是无穷极端点(这也说明极限即使不存在也有可能是有界的)。
数学成绩是长期积累的结果，因此准备时间一定要充分。首先对各个知识点做深入细致的分析，注意抓考点和重点题型，同时逐步进行一些训练，积累解题思路，这有利于知识的消化吸收，彻底弄清楚有关知识的纵向与横向联系，转化为自己真正掌握的东西。
篇9：求数列极限方法总结
求数列极限方法总结
极限是考研数学每年必考的内容,在客观题和主观题中都有可能会涉及到，平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。
极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数。 熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键, 极限的运算法则必须遵从,两个极限都存在才可以进行极限的运算,如果有一个不存在就无法进行运算。以下我们就极限的内容简单总结下。
极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。
四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效; 夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。
与极限计算相关知识点包括：
连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限；
可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验 存在的`定义是极限 存在；
渐近线，(垂直、水平或斜渐近线)；
多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在。
下面我们重点讲一下数列极限的典型方法。
求数列极限可以归纳为以下三种形式。
1.抽象数列求极限
这类题一般以选择题的形式出现, 因此可以通过举反例来排除。此外,也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证。
2.求具体数列的极限,可以参考以下几种方法：
利用单调有界必收敛准则求数列极限。首先,用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性,进而确定极限存在性；其次,通过递推关系中取极限，解方程,从而得到数列的极限值。
利用函数极限求数列极限。如果数列极限能看成某函数极限的特例,形如,则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限,此时再用洛必达法则求解。
3.项和或项积数列的极限,主要有以下几种方法：
利用特殊级数求和法。如果所求的项和式极限中通项可以通过错位相消或可以转化为极限已知的一些形式，那么通过整理可以直接得出极限结果。
利用幂级数求和法。若可以找到这个级数所对应的幂级数,则可以利用幂级数函数的方法把它所对应的和函数求出,再根据这个极限的形式代入相应的变量求出函数值。
利用定积分定义求极限。若数列每一项都可以提出一个因子,剩余的项可用一个通项表示, 则可以考虑用定积分定义求解数列极限。
利用夹逼定理求极限。若数列每一项都可以提出一个因子,剩余的项不能用一个通项表示,但是其余项是按递增或递减排列的,则可以考虑用夹逼定理求解。
求项数列的积的极限,一般先取对数化为项和的形式,然后利用求解项和数列极限的方法进行计算。
篇10：民办本科院校高等数学求极限的教学方法的思考教育论文
民办本科院校高等数学求极限的教学方法的思考教育论文
摘要：通过民办本科院校高等数学求极限的教学，培养学生的学习信心，学习兴趣，学习能力，激发学生自主学习的愿望，培养学生透过现象看本质的意识。
民办本科院校是我国较为年轻的一支教育教学力量，由于受到诸多方面的限制和影响，生源大多是基础相对薄弱，学习愿望相对不高，学习动力不足的学生群体。如何教好这类学生，经验丰富的重点大学教授（兼职或退休后受聘于民办院校）也一筹莫展，刚毕业的硕士、博士生老师更是哀其不争，怒其无用。如何才能使这群家庭条件相对好，生活相对丰裕的学生用心学习，为学习专业课或开发学习能力奠定良好的基础，带着这样的认识笔者开始尝试下面的教学方法：
1 利用学生中学已经熟练掌握的初等数学公式求极限，培养学生的`自信心
（1）计算
解：∵2 + 4 + 6 + … + 2n = =(n+1)n（等差数列前项和公式）
∴ == 1
（2）计算
解：分析本题分子，分母都符合等式数列前n 项和的公式。
1 +2 + …+ （）n =
1++ （）2 + … +（）n =
这两个题目让学生尝试到中学基础知识在高等数学求极限中的重要性，同时学习难度不大，很容易激发学生的求知欲望和自信心，有利于培养学生的求知欲，找到学习的成就感，找到学习的乐趣，点燃学习激情。
例题讲解后布置的思考题：
① 设f (x) = 31-x，求{f 2(1) + f 2(2) + …+f 2(n)}
② 计算 {}
留给学生5分钟左右的思考时间，通过课间巡查，观察有思路的学生，让有思路的学生大胆发言或上堂演算，鼓励其表现，与学生建立良好互动的平台，教学信任度的建立，有利于教学工作的开展，教学效果趋于良好。
思考题①的解答 即：
∵f (x) = 31-x
∴ f 2(1) = (31-1) 2 = 1 ，f 2(2) = (31-2)2 = （）2 ，f 2(3)= (31-3)2 = 2
…………（类推），f 2(n) = (31-n)2 = ()2
∴ {f 2(1) + f 2(2) + … + f 2(n)}
= {1 + ()2 + ()2 + … +()2}
= =
2 利用两个重要极限及变量代换求极限，培养学生观察问题，分析问题，解决问题的能力
（3）计算=
解 ：分析当x→0时, 分子n -1,分母x都是以0为极限
可设 = u，则1 + x = un
即x=un -1 ，∴当x→0时，u→1
∴ = =
= == 1
（4） 计算() x+1
解法一：令x+1= u，当x→∞时， u→∞
∴原式 = () u= (1 + )u = e
解法二： 原式=()x ·()1= ·1==e。教育学生深刻理解(1+)x = e公式及变量替换的方法可以培养学生的新思维。
3 利用极限存在的准则求极限
（5）求 (4n + 3n + 2n)
解： ∵4n＜4n + 3n + 2n＜3·4n
∴4＜(4n + 3n + 2n)＜·4（夹逼准则的应用）
而 = 1 ∴(4n + 3n + 2n)= 4
教育学生通过有效的放缩法，利用极限存在的准则有利于极限的求解，培养学生在今后的学习，工作中能够利用有效放缩的变通思想解决实际问题。
4 利用函数的连续性求极限，培养学生解决复杂问题及因势利导的能力
（6）设 yn = b ，求(1+)n
解 ：因为指数函数是连续函数
∴
（函数运算和极限运算可交替进行）
5利用幂指函数的公式求极限
（7） 计算 (1 + sin x)
解：(1 + sin x)= eln (1 + sin x)（幂指函数改写指数形式）
=（利用连续函数求极限的性质）
= = e
6 利用罗必答法则求极限
（8）计算
解 ：
（9） 若f '(a)存在，求
解 ：
=
==
= 2f '(a) - f '(a) = 2f '(a)
培养学生掌握罗必达法则的条件及应用，解决幂指函数及抽象函数求极限的方法。
7 综合分析题
（10）计算 ( ++ … +)
解 ：设 Sn =+++ … +
2Sn = 1 ++++ … +
2Sn - Sn = 1+ ( - ) + ( - )+ … +( - ) -= 2 +++ … +-
∴Sn =2 + ( + + … +) -
又∵ = ( + + … +) = 1 = 0
∴Sn = 3
此题着重培养学生解决复杂问题的能力，本题分子呈等差数列，而分母呈等比数列，若要求此极限，必须先求前n项和，然后再求极限，利用2Sn-Sn的方法可将它变成只含有等式数列的前n项，这样有利于求极限。
总之，通过对极限的教学培养学生的自信心，激发学生的求知欲，培养学生观察问题，分析问题，解决问题的能力，利用极限存在的准则（夹逼准则）培养学生变通的逻辑思维，利用函数的连续性求极限培养学生因势利导的能力，利用幂指函数的改写，连续函数求极限的性质：1∞型的结果，告诫学生必须熟练掌握所学知识的重要性；培养学生对抽象函数求极限，求导数的方法。教育教学必须注重教育对象的特质，利用被教育对象的潜质，来开发学生的潜能，培养其学习兴趣，达到完成教育教学任务的同时，更主要是让学生自己认识到学习的乐趣，从而成为学习的主人，变被动学习为主动学习。
篇11：函数求极限的方法总结
1.验证定义。：“猜出”极限值，然后再验证这个值确实是极限值/验证收敛，再由极限唯一性可得。
2.利用收敛定理、两边夹、关于无穷小/大的一些结果，四则运算、复合（形式上的“换元公式”）、函数极限的序列式定义。
从1+2得到的一些基本的结果出发，利用3就可以去完成一大堆极限运算了。
先从函数极限开始：
3.利用初等函数的连续性，结果就是把求极限变成了求函数值。
4.关于P(x)/Q(x),P、Q是两个多项式。如果Q（a）不等于0，见4；如果Q（a）等于0但P（a）不等于0，Infinity；如果Q（a）=P(a)=0，利用综合除法，P、Q均除以(x-a)，可以多除几次直到“Q”不能被整除，这时候就转化为前面的情形。
5.其它0/0：利用“换元”尽一切可能地转化为几种基本极限中的一种或多种。当然这里有一大杀器L'Hospital法则，不过注意它不能用来求sin x/x（x趋于0），因为：L'Hospital法则需要sin的导数，而求出lim sin x/x——求sinx的导数。
关于序列极限；
6.0/0，利用a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+ba^(n-2)+……+b^(n-1)]以及加减辅助项，尽量把减转化为加。
7.如果是递推形式，先利用递推式求出极限（如果有）应该满足的方程，求出极限，然后验证序列收敛。或者利用压缩映像。
篇12：函数求极限的方法总结
(一) 四则运算法则
四则运算法则在极限中最直接的应用就是分解，即将复杂的函数分解为若干个相对简单的函数和、积和商，各自求出极限即可得到要求的极限。但是在分解的时候要注意：(1)分解的各部分各自的`极限都要存在;(2)满足相应四则运算法则，(分母不能为0)。四则运算的另外一个应用就是“抓大头”。如果极限式中有几项均是无穷大，就从无穷大中选取起主要作用的那一项，选取的标准是选趋近于无穷最快的那一项，对数函数趋于无穷的速度远远小于幂函数，幂函数趋于无穷的速度远远小于指数函数。
(二) 洛必达法则(结合等价无穷小替换、变限积分求导)
洛必达法则解决的是“零比零“或“无穷比无穷”型的未定式的形式，所以只要是这两种形式的未定式都可以考虑用洛必达法则。当然，在用洛必达的时候需要注意(1)它的三个条件都要满足，尤其要注意第二三个条件，当三个条件都满足的时候才能用洛必达法则;(2)用洛必达法则之前一定要先化简，把要求极限的式子化成“干净”的式子，否则会遇到越求导越麻烦的情况，有的甚至求不出来，所以一定要先化简。化简常用的方法就是等价无穷小替换，有时也会用到四则运算。考生一定要熟记常用的等价无穷小，以及替换原则(乘除因子可以替换，加减不要替换)。考研中，除了也常常会把变限积分和洛必达相结合进行考查，这种类型的题目，首先要考虑洛必达，但是我们也要掌握变限积分求导。
另外，考试中有时候不直接考查“零比零“或“无穷比无穷”型，会出“零乘以无穷”，“无穷减无穷”这种形式，我们用的方法就是把他们变成“零比零“或“无穷比无穷”型。
(三) 利用泰勒公式求极限
利用泰勒公式求极限，也是考研中常见的方法。泰勒公式可以将常用的等价无穷小进行推广，如
(四) 定积分定义
考研中求n项和的极限这类题型用夹逼定理做不出来，这时候需要用定积分定义去求极限。常用的是这种形式
只要把要求的极限凑成等是左边的形式，就可以用定积分去求极限了。
篇13：数分求极限的方法总结
数分求极限的方法总结
解决极限的方法有那些？各位都知道，求数的极限一直是我们的难点，所以为大家带来了数分求极限的方法。
数分求极限的方法总结
1、等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）。
2、洛必达法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）。首先他的使用有严格的使用前提！必须是X趋近而不是N趋近！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！（假如告诉你g（x）,没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死！！）必须是0比0无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0）。
3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意！）E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。
4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母！！！看上去复杂,处理很简单！
5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了！
6、夹逼定理（主要对付的是数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
7、等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）。
8、各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数。
9、求左右极限的.方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下,xn的极限与xn+1的极限时一样的，因为极限去掉有限项目极限值不变化。
10、两个重要极限的应用。这两个很重要！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大，无穷小都有对有对应的形式（第2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1的时候要特别注意可能是用地两个重要极限）
11、还有个方法，非常方便的方法,就是当趋近于无穷大时候,不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！x的x次方快于x！快于指数函数，快于幂数函数，快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）!!当x趋近无穷的时候，他们的比值的极限一眼就能看出来了。
12、换元法是一种技巧,不会对单一道题目而言就只需要换元，而是换元会夹杂其中。
13、假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的。
14、还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法，走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是从0到1的形式。
15、单调有界的性质，对付递推数列时候使用证明单调性！
16、直接使用求导数的定义来求极限，（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减某个值）加减f（x）的形式,看见了要特别注意）（当题目中告诉你F(0)=0时候f（0）导数=0的时候，就是暗示你一定要用导数定义！
函数是表皮,函数的性质也体现在积分微分中。例如他的奇偶性质他的周期性。还有复合函数的性质：
1、奇偶性，奇函数关于原点对称偶函数关于轴对称偶函数左右2边的图形一样（奇函数相加为0）；
2、周期性也可用在导数中在定积分中也有应用定积分中的函数是周期函数积分的周期和他的一致；
3、复合函数之间是自变量与应变量互换的关系；
4、还有个单调性。(再求0点的时候可能用到这个性质！（可以导的函数的单调性和他的导数正负相关）:o再就是总结一下间断点的问题（应为一般函数都是连续的所以间断点是对于间断函数而言的）间断点分为第一类和第二类剪断点。第一类是左右极限都存在的（左右极限存在但是不等跳跃的的间断点或者左右极限存在相等但是不等于函数在这点的值可取的间断点；第二类间断点是震荡间断点或者是无穷极端点（这也说明极限即使不存在也有可能是有界的）。
