与导数的函数题的统一解题技巧分析

下面是小编为大家整理的与导数的函数题的统一解题技巧分析，本文共8篇，仅供大家参考借鉴，希望大家喜欢!本文原稿由网友“已吊销”提供。

篇1：与导数的函数题的统一解题技巧分析

与导数有关的函数题的统一解题技巧分析

与导数有关的函数题的统一解题技巧分析

与导数有关的函数题是各省市检测和高考年年必考的题目，形式层出不穷，绝大多数还是区分度颇高的压轴题。许多中上水平的考生往往处理完第一问后，对第二、三问或是匆忙求导眼到手不到形成一堆烂账，或是写了一堆解答过程发现走进死胡同再出来，这样做的结果往往是得分较低，浪费时间，长此以往对科学备考的负面影响较大。究其原因，很多考生表现为不知道自己“起步”错误，具体来说就是对哪个函数求导不明确，或为什么要构造新函数F （x）和如何构造函数F （x）不明确。本文结合近两年的高考题，就解答与导数有关的区分度颇高的函数题，如何走好“动一发而系全身”的第一步，谈如何构造函数F （x），给出程序化的构建模式，以达到“好的开始是成功的一半”的目的。

一、与导数有关的函数题概述

与导数有关的区分度颇高的函数题主要包括：讨论含参（一元参数或二元参数）方程根的个数与范围，含参（一元参数或二元参数）不等式的证明，求含参函数的最值或单调区间，含参（一元参数或二元参数）不等式恒成立时已知含参函数的最值或单调区间求某参数的范围，已知含参（一元参数或二元参数）方程根的个数和范围求某参数的范围等。题目形式虽然千变万化、层出不穷，但本质上就是一道题。本文为使问题说明得更加方便，不妨以 f（x）≥g（x）的形式来说明。

二、程序化构造函数F （x）的统一模式

1.直接法：令F （x）= f（x）-g（x）。

2.化积法：若 f（x）-g（x）=h（x）k（x），且h（x）≥0,令F （x）= k（x）。

3.伸缩法：若 f（x）≥ f1（x），则令F （x）= f1（x）-g（x），其中，f1（x）通常可由熟悉的不等式或前一问中的结论得出。

4.控元法：含参问题若已给出参数k的范围，由单调性控元、消元、消参，构建F （x）（F （x）不含参数）。

5.分离变量法：若能分离出变量k≥k（x），则令F （x）=k（x）。

三、程序化构造函数F （x）的统一模式在高考题中的运用

例1 （高考新课标全国Ⅱ卷理科卷第21题）已知函数f（x）=ex-ln（x+m）。

（Ⅰ）设x=0是f（x）的极值点，求m,并讨论 f（x）的单调性。

（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）>0.

（Ⅰ）解：m=1. f（x）在（-1,0）上单调递减，在（0,+∞）上单调递增。（解答过程省略）

（Ⅱ）证明：当m≤2,x∈（-m,+∞）时，ln（x+2）≥ln（x+m）。记F （x）=ex-ln（x+2），则F ′（x）=ex- .

∵F ′′（x）=ex+ >0,∴F ′（x）在（-2,+∞）上单调递增。

∵F ′（0）=1- >0,F ′（-1）= -1<0,即 = ,x0=-ln（x0+2），∴F （x0）= -ln（x0+2）= +x0= >0.

当x∈（-2,x0）时，F ′（x）<0,此时函数F （x）单调递减；当x∈（x0,+∞）时，F ′（x）>0,此时函数F （x）单调递增。

∴ f（x）≥F （x）≥F min（x）=F （x0）>0.

小结 本题是一道含参不等式的`证明题，考生若不假思索地直接采用构造F （x）=左-右，则在求F ′（x）=0时会走进死胡同。问题出在含参，因此应该控元，将两个变量变为一个变量，使其常态化。

例2 （高考山东理科卷第22题）已知函数f（x）= （k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y= f（x）在点（1,f（1））处的切线与x轴平行。

（Ⅰ）求k的值。

（Ⅱ）求 f（x）的单调区间。

（Ⅲ）设g（x）=（x2+x） f ′（x），其中 f ′（x）为 f （x）的导函数。证明：对任意x>0,g（x）<1+e-2.

（Ⅰ）解：k=1.（解答过程省略）

（Ⅱ）解：函数 f（x）在（0,1）上单调递增，在（1,+∞）上单调递减。（解答过程省略）

（Ⅲ）证明：g（x）=（x2+x）・ =（1+x）・ .

欲证g（x）<1+e-2,即证1-x（ln x+1）< （1+e-2）。①

令F 1（x）=1-x（ln x+1），则F （x）=-ln x-2.令F （x）=0,得ln x =-2,∴x = e- 2∈（0,+∞）。

当x∈（0,e- 2）时，F （x）>0,此时F 1（x）单调递增；当x∈（e- 2,+∞）时，F （x）<0,此时F 1（x）单调递减。∴F 1max（x）=F1 （e- 2）=1+e- 2.

令F 2（x）= .∵F （x）= = >0,∴F 2（x）在（0,+∞）上单调递增。∴F 2（x）>F 2（0）=1.∴不等式①得证。∴ g（x）<1+e- 2（x>0）。

小结 如何构造函数F（x），关键在于F ′（x）=0是否易求（或易估）。若直接求g（x），则g′（x）=0的求解将陷入泥潭。

例3 （20高考辽宁理科卷第21题）设f（x）=ln（x+1）+ +ax+b（a,b∈R,a,b为常数），曲线y= f（x）与直线y= x在（0,0）点相切。

（Ⅰ）求a,b的值。

（Ⅱ）证明：当0  （Ⅰ）解：a=0,b=-1.（解答过程省略）

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f（x）=ln（x+1）+ -1.

∵ < （0  构造F （x）=ln（x+1）+ - ,则F ′（x）= + - = .

当x∈（0,2）时，∵x2+15x-36<0,∴F ′（x）<0.∴F （x）单调递减。∴F （x）  ∴ln（x+1）+ < .∴ln（x+1）+ -1< ,即f（x）< .

小结 本题若直接对f（x）求导，则会在计算f ′（x）=0时碰壁。原因在于对 求导时，既有根式又有分式，而ln（x+1）的导数仅有分式，使得在求f ′（x）=0时眼到手不到。

（作者单位：厦门工商旅游学校；厦门英才学校）

（责任编校/周峰）

《高中生》・高考网助你解答函数压轴题有一个好的开始――

《利用二次求导巧解高考函数压轴题》

随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，现在已由前几年高考只在解决问题中起辅助作用，上升为分析与解决问题时不可缺少的工具。

篇2：函数与导数知识点总结

函数与导数知识点总结

第一、求函数定义域题忽视细节函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，考生想要在考场上准确求出定义域，就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数的定义域。

在求一般函数定义域时，要注意以下几点：分母不为0;偶次被开放式非负;真数大于0以及0的0次幂无意义。函数的定义域是非空的数集，在解答函数定义域类的题时千万别忘了这一点。复合函数要注意外层函数的定义域由内层函数的值域决定。

第二、带绝对值的函数单调性判断错误带绝对值的.函数实质上就是分段函数，判断分段函数的单调性有两种方法：第一，在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，然后对各个段上的单调区间进行整合;第二，画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质能够进行直观的判断。函数题离不开函数图象，而函数图象反应了函数的所有性质，考生在解答函数题时，要第一时间在脑海中画出函数图象，从图象上分析问题，解决问题。

对于函数不同的单调递增(减)区间，千万记住，不要使用并集，指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。

第三、求函数奇偶性的常见错误求函数奇偶性类的题最常见的错误有求错函数定义域或忽视函数定义域，对函数具有奇偶性的前提条件不清，对分段函数奇偶性判断方法不当等等。判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域区间关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶的函数。在定义域区间关于原点对称的前提下，再根据奇偶函数的定义进行判断。

在用定义进行判断时，要注意自变量在定义域区间内的任意性。

第四、抽象函数推理不严谨很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同“特征”而设计的，在解答此类问题时，考生可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数。多用特殊赋值法，通过特殊赋可以找到函数的不变性质，这往往是问题的突破口。

抽象函数性质的证明属于代数推理，和几何推理证明一样，考生在作答时要注意推理的严谨性。每一步都要有充分的条件，别漏掉条件，更不能臆造条件，推理过程层次分明，还要注意书写规范。

第五、函数零点定理使用不当若函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)<0。那么函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0。这个c也可以是方程f(c)=0的根，称之为函数的零点定理，分为“变号零点”和“不变号零点”，而对于“不变号零点”，函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点时，考生需格外注意这类问题。

第六、混淆两类切线曲线上一点处的切线是指以该点为切点的曲线的切线，这样的切线只有一条;曲线的过一个点的切线是指过这个点的曲线的所有切线，这个点如果在曲线上当然包括曲线在该点处的切线，曲线的过一个点的切线可能不止一条。

因此，考生在求解曲线的切线问题时，首先要区分是什么类型的切线。

第七、混淆导数与单调性的关系一个函数在某个区间上是增函数的这类题型，如果考生认为函数的导函数在此区间上恒大于0，很容易就会出错。

解答函数的单调性与其导函数的关系时一定要注意，一个函数的导函数在某个区间上单调递增(减)的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大(小)于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为零。

篇3：高考数学函数压轴题解题技巧

高考数学函数压轴题解题技巧

函数值域常见求法和解题技巧

函数的值域与最值是两个不同的概念，一般说来，求出了一个函数的最值，未必能确定该函数的值域，反之，一个函数的值域被确定，这个函数也未必有最大值或最小值.

但是，在许多常见的函数中，函数的值域与最值的求法是相通的、类似的.关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，但是有许多方法是类似的，归纳起来

常用的方法有：观察法、配方法、换元法、反函数法、判别式法、不等式法、利用函数的单调性、利用三角函数的有界性、数形结合法等，在选择方法时，要注意所给函数表达式的结构，不同的结构选择不同的解法。

函数奇偶性的判断方法及解题策略

确定函数的奇偶性，一般先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系，常用方法有：①利用奇偶性定义判断;②利用图象进行判断，若函数的图象关于原点对称则函数为奇函数，若函数的图象关于轴对称则函数为偶函数;

③利用奇偶性的一些常见结论：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，偶奇奇，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇，偶奇奇;④对于偶函数可利用，这样可以避免对自变量的繁琐的分类讨论。

2高中数学考试技巧

掌握时间

由于，基础中考能力，所以要注重解题的快法和巧法，能在30分钟左右，完成全部的选择填空题，这是夺取高分的关键。

在平时当中一定要求自己选择填空一分钟一道题。用数学思想方法高速解答选择填空题。

后三难尽量多得分

第二段是解答题的前三题，分值不到40分。这样前两个阶段的总分在110分左右。第三段是最后“三难”题，分值不到40分。“三难”题并不全难，难点的分值只有12分到18分，平均每道题只有4分到6分。首先，应在“三难”题中夺得12分到20分，剩下最难的步骤分在努力争取。

后3题不是只做第一问的问题，而应该猜想评分标准，按步骤由前向后争取高分。

先易后难

所以，只做选择，填空和前三道大题是不够全面的。因为，后“三难”题中的容易部分比前面的基础部分还要容易，所以我们应该志在必得。在复习的时候，根据自己的情况，如果基础较好那首先争取选择，填空前三道大题得满分。然后，再提高解答“三难”题的能力，争取“三难”题得分20分到30分。这样，你的总分就可以超过130分，向145分冲刺。

3高中数学备考技巧

缺步解答——化繁为简，能做多少算多少，如果遇到一个很困难的数学问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些数学解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每进行一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，因为判卷是不只看结果的。

一道大题中第一题的答案是下一题的条件。很多同学在做数学压轴题时都忽略了一个重要条件，就是第一小题的答案。一般第一小题很简单，第二题很难，有的同学忽略了第一题答案可以作为下一题条件这个重要因素

所以耗时很久也解答不出来。建议考生罗列题目给出的条件时，一定要把第一小题的答案也考虑进去。当然，不是每个数学压轴大题都是这样的，也有很多压轴题的不同小题给出不同条件，希望考生们能够根据实际情况随机应变。

高考数学压轴题，像一块硬骨头，要敢于“啃”，不要惧怕。数学压轴题往往有两问或者三问，第一问通常比较容易，要做好第一问，同时也为做好后面的问题打下基础。对后面的问题，即使不能够写出完整的解答过程，也要大胆的去做，能做多少是多少，要把自己的想法写出来。

4高中数学做题技巧

填空题

填空题和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍，考查目标集中，答案简短、明确、具体，不必填写解答过程，评分客观、公正、准确等等。不过填空题和选择题也有质的区别。首先，表现为填空题没有备选项。因此，解答时既有不受诱误的干扰之好处，又有缺乏提示的帮助之不足，对考生独立思考和求解，在能力要求上会高一些

长期以来，填空题的答对率一直低于选择题的答对率，也许这就是一个重要的原因。其次，填空题的结构，往往是在一个正确的命题或断言中，抽去其中的一些内容(既可以是条件，也可以是结论)，留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活。在对题目的阅读理解上，较之选择题，有时会显得较为费劲。当然并非常常如此，这将取决于命题者对试题的设计意图。

选择题

1)解法多样化：与其他学科比较，“一题多解”的现象在数学中表现突出。尤其是数学选择题，由于它有备选项，给试题的解答提供了丰富的有用信息，有相当大的提示性，为解题活动展现了广阔的天地，大大地增加了解答的途径和方法。常常潜藏着极其巧妙的解法，有利于对考生思维深度的考查。

解答题

解答题与填空题比较，同属提供型的试题，但也有本质的区别。首先，解答题应答时，考生不仅要提供出最后的结论，还得写出或说出解答过程的主要步骤，提供合理、合法的说明。填空题则无此要求，只要填写结果，省略过程，而且所填结果应力求简练、概括和准确。其次，试题，解答题比起填空题要丰富得多。

解答题的考点相对较多，综合性强，难度较高。解答题成绩的评定不仅看最后的结论，还要看其推演和论证过程，分情况评定分数，用以反映其差别，因而解答题命题的自由度，较之填空题大得多。

篇4： 函数的极值与导数教学设计

函数的极值与导数教学设计

一、目标

知识与技能：理解极大值、极小值的概念；能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；掌握求可导函数的极值的步骤；

过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

二、重点难点

教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.

教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的`极值的步骤.

三、教学过程

函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．我们以导数为工具，对研究函数的增减及极值和最值带来很大方便．

四、学情分析

我们的学生属于平行分班，学生已有的知识和实验水平有差距。需要教师指导并借助动画给予直观的认识。

五、教学方法

发现式、启发式

新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习

六、课前准备

1．学生的学习准备：

2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

七、课时安排：1课时

八、教学过程

(一)预习检查、总结疑惑

检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

提问

（二）情景导入、展示目标。

设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。

1、有关概念

(1).极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点

(2).极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点

(3).极大值与极小值统称为极值

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：

（4）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是大或小；并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

（5）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个

（6）极大值与极小值之间

无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如上图所示，是极大值点，是极小值点，而>

（7）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点

2.判别f(x0)是极大、极小值的方法:

若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值

3.求可导函数f(x)的极值的步骤:

(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)

(2)求方程f′(x)=0的驻点（一阶导数为0的x的值）

(3)检查f′(x)=0的驻点左右的符号；如果左正右负，那么f(x)在这个驻点处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个驻点处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个驻点处无极值

（三）合作探究、精讲点拨。

例1．（课本例4）求的极值

解：因为，所以。

令，得

下面分两种情况讨论：

（1）当>0,即，或时；（2）当<0,即时.

当x变化时，，的变化情况如下表：

2(-2,2)2

+0－0+

极大值

极小值

因此，=；

函数的图像如图所示。

例2求y=(x2－1)3+1的极值

解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2,令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1

当x变化时，y′，y的变化情况如下表

-1(-1,0)0(0,1)1

－0－0+0+

?无极值?极小值0?无极值?

∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0

例3设，在和处有极值，且=－1,求，，的值，并求出相应的值。

解：，∵是函数的极值点，则－1,1是方程的根，即有?，又，则有，由上述三个方程可知，，，此时，函数的表达式为，∴，令，得，当变化时，，的变化情况表：

-1(-1,1)1

+0－0+

极大值1极小值－1

由上表可知，，

（学生上黑板解答）

多媒体展示探究思考题。

在学生分组实验的过程中教师巡回观察指导。(课堂实录)

（四）反思总结，当堂检测。

教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。

设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录）

（五）发导学案、布置预习。

设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。

九、板书设计

极大值:

极大值点:

极小值:

极小值点：

极值：

十、教学反思

本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。

在后面的教学过程中会继续研究本节课，争取设计的更科学，更有利于学生的学习，也希望大家提出宝贵意见，共同完善，共同进步!

篇5：与导数分担有理函数的整函数

与导数分担有理函数的整函数

主要证明了以下定理:设f是超越整函数,R是非常数有理函数,k、m是两个不同的正整数,d=(k,m)是k、m的最大公约数.若f,f(k)f(m)CM分担R,那么f=f(d).

作 者：朱颖中 常建明 Zhu Yingzhong Chang Jianming  作者单位：朱颖中,Zhu Yingzhong(江苏大学理学院,江苏,镇江,21)

常建明,Chang Jianming(常熟理工学院数学系,江苏,常熟,215500)

刊 名：南京师大学报(自然科学版)  ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF NANJING NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION) 年，卷(期)： 31(3) 分类号：O174.52 关键词：整函数   有理函数   惟一性  

篇6：函数的极值与导数测试题及答案

函数的极值与导数测试题及答案

一、选择题

1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是

A．导数为零的点一定是极值点

B．如果在点x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值

C．如果在点x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值

D．如果在点x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值

[答案] C

[解析] 导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)＝x3，f(x)＝3x2，f(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.

2．函数y＝1＋3x－x3有()

A．极小值－2，极大值2

B．极小值－2，极大值3

C．极小值－1，极大值1

D．极小值－1，极大值3

[答案] D

[解析] y＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)

令y＝0，解得x1＝－1，x2＝1

当x－1时，y0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，

当－11时，y0，函数y＝1＋3x－x3是增函数，

当x1时，y0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，

当x＝－1时，函数有极小值，y极小＝－1.

当x＝1时，函数有极大值，y极大＝3.

3．设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是()

A．必有f(x0)＝0

B．f(x0)不存在

C．f(x0)＝0或f(x0)不存在

D．f(x0)存在但可能不为0

[答案] C

[解析] 如：y＝|x|，在x＝0时取得极小值，但f(0)不存在．

4．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案] C

[解析] 只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件．

5．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：

①f(x)是增函数，无极值；

②f(x)是减函数，无极值；

③f(x)的`递增区间为(－，0)，(2，＋)，递减区间为(0,2)；

④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．

其中正确的命题有()

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

[答案] B

[解析] f(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f(x)0，得x2或x0，令f(x)0，得02，①②错误．

6．函数f(x)＝x＋1x的极值情况是()

A．当x＝1时，极小值为2，但无极大值

B．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值

C．当x＝－1时，极小值为－2；当x＝1时，极大值为2

D．当x＝－1时，极大值为－2；当x＝1时，极小值为2

[答案] D

[解析] f(x)＝1－1x2，令f(x)＝0，得x＝1，

函数f(x)在区间(－，－1)和(1，＋)上单调递增，在(－1,0)和(0,1)上单调递减，

当x＝－1时，取极大值－2，当x＝1时，取极小值2.

7．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

[答案] A

[解析] 由f(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点．

8．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情况是()

A．有极小值

B．有极大值

C．既有极大值又有极小值

D．无极值

[答案] D

[解析] ∵y＝1－11＋x2(x2＋1)

＝1－2xx2＋1＝(x－1)2x2＋1

令y＝0得x＝1，当x1时，y0，

当x1时，y0，

函数无极值，故应选D.

9．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是()

A．极大值为427，极小值为0

B．极大值为0，极小值为427

C．极大值为0，极小值为－427

D．极大值为－427，极小值为0

[答案] A

[解析] 由题意得，f(1)＝0，p＋q＝1①

f(1)＝0，2p＋q＝3②

由①②得p＝2，q＝－1.

f(x)＝x3－2x2＋x，f(x)＝3x2－4x＋1

＝(3x－1)(x－1)，

令f(x)＝0，得x＝13或x＝1，极大值f13＝427，极小值f(1)＝0.

10．下列函数中，x＝0是极值点的是()

A．y＝－x3 B．y＝cos2x

C．y＝tanx－x D．y＝1x

[答案] B

[解析] y＝cos2x＝1＋cos2x2，y＝－sin2x，

x＝0是y＝0的根且在x＝0附近，y左正右负，

x＝0是函数的极大值点．

二、填空题

11．函数y＝2xx2＋1的极大值为______，极小值为______．

[答案] 1 －1

[解析] y＝2(1＋x)(1－x)(x2＋1)2，

令y0得－11，令y0得x1或x－1，

当x＝－1时，取极小值－1，当x＝1时，取极大值1.

12．函数y＝x3－6x＋a的极大值为____________，极小值为____________．

[答案] a＋42 a－42

[解析] y＝3x2－6＝3(x＋2)(x－2)，

令y0，得x2或x－2，

令y0，得－22，

当x＝－2时取极大值a＋42，

当x＝2时取极小值a－42.

13．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝______，b＝________.

[答案] －3 －9

[解析] y＝3x2＋2ax＋b，方程y＝0有根－1及3，由韦达定理应有

14．已知函数f(x)＝x3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是________．

[答案] (－2,2)

[解析] 令f(x)＝3x2－3＝0得x＝1，

可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，

y＝f(x)的大致图象如图

观察图象得－22时恰有三个不同的公共点．

三、解答题

15．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋11.

(1)写出函数f(x)的递减区间；

(2)讨论函数f(x)的极大值或极小值，如有试写出极值．

[解析] f(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，

令f(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.

x变化时，f(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：

x (－，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋)

f(x) ＋ 0 － 0 ＋

f(x) 增 极大值

f(－1) 减 极小值

f(3) 增

(1)由表可得函数的递减区间为(－1,3)；

(2)由表可得，当x＝－1时，函数有极大值为f(－1)＝16；当x＝3时，函数有极小值为f(3)＝－16.

16．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f(1)＝－1，求a、b、c的值，并求出相应的极值．

[解析] f(x)＝3ax2＋2bx＋c.

∵x＝1是函数的极值点，－1、1是方程f(x)＝0的根，即有

又f(1)＝－1，则有a＋b＋c＝－1，

此时函数的表达式为f(x)＝12x3－32x.

f(x)＝32x2－32.

令f(x)＝0，得x＝1.

当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：

x (－，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋)

f(x) ＋ 0 － 0 ＋

f(x) ? 极大

值1 ? 极小

值－1 ?

由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极大值1；当x＝1时，函数有极小值－1.

17．已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝1处取得极值．

(1)讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值；

(2)过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程．

[解析] (1)f(x)＝3ax2＋2bx－3，依题意，

f(1)＝f(－1)＝0，即

解得a＝1，b＝0.

f(x)＝x3－3x，

f(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．

令f(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.

若x(－，－1)(1，＋)，则f(x)＞0，故

f(x)在(－，－1)上是增函数，

f(x)在(1，＋)上是增函数．

若x(－1,1)，则f(x)＜0，故

f(x)在(－1,1)上是减函数．

f(－1)＝2是极大值；f(1)＝－2是极小值．

(2)曲线方程为y＝x3－3x.点A(0,16)不在曲线上．

设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0＝x30－3x0.

∵f(x0)＝3(x20－1)，故切线的方程为

y－y0＝3(x20－1)(x－x0)．

注意到点A(0,16)在切线上，有

16－(x30－3x0)＝3(x20－1)(0－x0)．

化简得x30＝－8，解得x0＝－2.

切点为M(－2，－2)，

切线方程为9x－y＋16＝0.

18．(北京文，18)设函数f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d(a0)，且方程f(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.

(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；

(2)若f(x)在(－，＋)内无极值点，求a的取值范围．

[解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用．

由f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d得f(x)＝ax2＋2bx＋c

∵f(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根为1,4.

(1)当a＝3时，由(*)式得 ，

解得b＝－3，c＝12.

又∵曲线y＝f(x)过原点，d＝0.

故f(x)＝x3－3x2＋12x.

(2)由于a0，所以“f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d在(－，＋)内无极值点”等价于“f (x)＝ax2＋2bx＋c0在(－，＋)内恒成立”

由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.

又∵＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)

解 得a[1,9]，

即a的取值范围[1,9]．

篇7：函数的单调性与导数教案

函数的单调性与导数教案

一、目标

知识与技能：了解可导函数的单调性与其导数的关系 ； 能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。

过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

二、重点难点

教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过4次的多项式函数的单调区间

教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过4次的多项式函数的单调区间

三、教学过程：

函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．我们以导数为工具，对研究函数的增减及极值和最值带来很大方便．

四、学情分析

我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。需要教师指导并借助动画给予直观的认识。

五、教学方法

发现式、启发式

新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习

六、课前准备

1．学生的学习准备：

2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

七、课时安排：

1课时

八、教学过程

(一)预习检查、总结疑惑

检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

提问

1．判断函数的单调性有哪些方法？

（引导学生回答“定义法”，“图象法”。）

2．比如，要判断 y=x2 的单调性，如

何进行？（引导学生回顾分别用定义法、图象法完成。）

3．还有没有其它方法？如果遇到函数：

y=x3－3x判断单调性呢？（让学生短时

间内尝试完成，结果发现：用“定义法”，

作差后判断差的符号麻烦；用“图象法”,图象很难画出来。）

4．有没有捷径？（学生疑惑,由此引出课题）这就要用到咱们今天要学的导数法。

以问题形式复习相关的旧知识，同时引出新问题：三次函数判断单调性，定义法、图象法很不方便，有没有捷径？通过创设问题情境，使学生产生强烈的问题意识，积极主动地参与到学习中来。

（二）情景导入、展示目标。

设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。

（探索函数的单调性和导数的关系） 问：函数的单调性和导数有何关系呢？

教师仍以y=x2为例，借助几何画板动态演示，让学生记录结果在课前发的表格第二行中：

函数及图象 单调性 切线斜率k的正负 导数的正负

问：有何发现？（学生回答）

问：这个结果是否具有一般性呢？

（三）合作探究、精讲点拨。

我们来考察两个一般性的例子：

（教师指导学生动手实验：把准备的牙签放在表中曲线y=f(x)的图象上，作为曲线的切线，移动切线并记录结果在上表第三、四行中。）

问：能否得出什么规律？

让学生归纳总结，教师简单板书：

在某个区间(a，b)内，

若f ' (x)>0，则f(x)在(a，b)上是增函数；

若f ' (x)<0，则在f(x)(a，b)上是减函数。

教师说明：

要正确理解“某个区间”的含义，它必需是定义域内的某个区间。

1．这一部分是后面利用导数求函数单调区间的理论依据，重要性不言而喻，而学生又只学习了导数的意义和一些基本运算，要想得到严格的证明是不现实的，因此，只要求学生能借助几何直观得出结论，这与新课标中的要求是相吻合的。

2．教师对具体例子进行动态演示，学生对一般情况进行实验验证。由观察、猜想到归纳、总结，让学生体验知识的发现、发生过程，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体。

3．得出结论后，教师强调正确理解“某个区间”的含义，它必需是定义域内的某个区间。这一点将在例1的变式3具体体现。

4．考虑到本节课堂容量较大，这里没有提到函数在个别点处导数为零不影响单调性的情况（如y=x3在x=0处），这一问题将在后续课程中给学生补充。

应用导数求函数的单调区间

例1．求函数y=x2－3x的单调区间。

（引导学生得出解题思路：求导 →

令f ' (x)>0，得函数单调递增区间，令f ' (x)<0，得函数单调递减区间 → 下结论）

变式1：求函数y=3x3－3x2的单调区间。

（竞赛活动：将全班同学分成两大组指定分别用单调性的定义，和用求导数的方法解答，每组各推荐一位同学的答案进行投影。）

求单调区间是导数的一个重要应用，也是本节重点，为此，设计了例1及三个变式：

设计例1可引导学生得出用导数法求单调区间的解题步骤

设计变式1及竞赛活动可以激发学生的`学习热情，让他们学会比较,并深刻体验导数法的优越性。

巩固提高

变式2：求函数y=3e x －3x单调区间。

（学生上黑板解答）

变式3：求函数 的单调区间。

设计变式2且让学生上黑板解答可以规范解题格式，同时使学生了解用导数法可以求更复杂的函数的单调区间。

设计变式3是可使学生体会考虑定义域的必要性

例1及三个变式，依次涉及二次，三次函数，含指数的函数、反比例函数，这样一题多变，逐步深化，从而让学生领会：如何应用及哪类单调性问题该应用“导数法”解决。

多媒体展示探究思考题。

在学生分组实验的过程中教师巡回观察指导。 (课堂实录) ，

（四）反思总结，当堂检测。

教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。

设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录）

（五）发导学案、布置预习。

设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。

九、板书设计

例1．求函数y=3x2－3x的单调区间。

变式1：求函数y=3x3－3x2的单调区间。

变式2：求函数y=3e x －3x单调区间。

变式3：求函数 的单调区间。

十、教学反思

本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。

在后面的教学过程中会继续研究本节课，争取设计的更科学，更有利于学生的学习，也希望大家提出宝贵意见，共同完善，共同进步!

篇8：函数与不等式问题的解题技巧

【命题趋向】

全国高考数学科《考试大纲》为走向高考的莘莘学子指明了复习备考的方向.考纲是考试法典,是命题的依据,是备考的总纲.科学备考的首要任务,就是要认真学习、研究考纲.对照考纲和高考函数试题有这样几个特点:

1.通过选择题和填空题,全面考查函数的基本概念,性质和图象.

2.在解答题的考查中,与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现.

3.从数学具有高度抽象性的特点出发,没有忽视对抽象函数的考查.

4.一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的.

5.涌现了一些函数新题型.

6.函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题,而且对于数列,不等式,解析几何等也需要用函数与方程思想作指导.

函数类试题在试题中所占分值一般为22---35分.

1.在选择题中会继续考查比较大小,可能与函数、方程、三角等知识结合出题.

2.在选择题与填空题中注意不等式的解法建立不等式求参数的取值范围,以及求最大值和最小值应用题.

3.解题中注意不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合、突出渗透数学思想和方法.

分值在27---32分之间,一般为2个选择题,1个填空题,1个解答题.

【考点透视】

1.了解映射的概念,理解函数的概念.

2.了解函数的单调性和奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法,并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程.

3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系,会求一些简单函数的反函数.

4.理解分数指数的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图象和性质.

5.理解对数的概念,掌握对数的运算性质,掌握对数函数的概念、图象和性质.

6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.

7.在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上,掌握其它的一些简单不等式的解法.通过不等式解法的复习,提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力.

8.掌握解不等式的基本思路,即将分式不等式、绝对值不等式等不等式,化归为整式不等式(组),会用分类、换元、数形结合的方法解不等式.

9.通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等),使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题.

10.通过证明不等式的过程,培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力.

11.能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法,解决有关不等式的问题.

12.通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高分析问题解决问题的能力.在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中,提高学生数学素质及创新意识.

函数的极值与导数教学设计

仔细阅读题解题技巧

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司法考试司法考试经验交流：案例题解题技巧

中考化学推断题解题技巧

与导数的函数题的统一解题技巧分析.doc

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